Dérivée de ex : Preuve étape par étape et exemples

Preuve étape par étape par la définition de la limite, formule de la règle de chaîne et exemples résolus

Ce tutoriel présente la dérivée de la fonction exponentielle naturelle \( e^x \) en utilisant la définition par les limites. Nous couvrons également la dérivée des fonctions exponentielles composées de la forme \( e^{u(x)} \), avec des exemples détaillés et des solutions.

1. Preuve de la dérivée de ex en utilisant la définition de la limite

La définition de la dérivée d'une fonction \( f(x) \) est :

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]

Soit \( f(x) = e^x \). Alors :

\[ \begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{e^x e^h - e^x}{h} \quad \text{(en utilisant } e^{x+h} = e^x e^h \text{)} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{e^x (e^h - 1)}{h} \\ &= e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} \end{aligned} \]

Nous calculons maintenant la limite \( \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} \). Soit \( y = e^h - 1 \), de sorte que \( \lim_{h \to 0} y = 0 \). Alors :

\[ e^h = y + 1 \implies h = \ln(y + 1) \] \[ \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = \lim_{y \to 0} \frac{y}{\ln(y+1)} \] \[ = \lim_{y \to 0} \frac{1}{\frac{1}{y} \ln(y+1)} = \lim_{y \to 0} \frac{1}{\ln((y+1)^{1/y})} \]

En utilisant la définition de la constante d'Euler \( e \) :

\[ e = \lim_{m \to 0} (1 + m)^{1/m} \implies \lim_{y \to 0} (y+1)^{1/y} = e \] \[ \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = \frac{1}{\ln e} = 1 \]
Formule : \[ f'(x) = e^x \]

Conclusion : Toute fonction de la forme \( f(x) = k e^x \), où \( k \) est une constante, a la même dérivée multipliée par \( k \).

2. Dérivée de la fonction composée y = eu(x)

Pour une fonction \( u(x) \), nous utilisons la règle de chaîne :

\[ \frac{d}{dx} e^{u(x)} = \frac{d}{du} e^{u} \cdot \frac{du}{dx} = e^{u(x)} \frac{du}{dx} \]
Formule de la règle de chaîne : \[ \frac{d}{dx} e^{u(x)} = e^{u(x)} \frac{du}{dx} \]

3. Exemples avec solutions

Exemples résolus : Dérivation de fonctions exponentielles composées

Trouvez les dérivées de :

  1. \( f(x) = e^{x^3 - 2x + 3} \)
  2. \( g(x) = e^{\sqrt{x^2 + 1}} \)
  3. \( h(x) = e^{\frac{x}{x-2}} \)

Solutions :

  1. \( u(x) = x^3 - 2x + 3 \implies \frac{du}{dx} = 3x^2 - 2 \)
    \[ \frac{d}{dx} f(x) = e^{u(x)} \frac{du}{dx} = (3x^2 - 2) e^{x^3 - 2x + 3} \]
  2. \( u(x) = \sqrt{x^2 + 1} \implies \frac{du}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \)
    \[ \frac{d}{dx} g(x) = e^{u(x)} \frac{du}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \, e^{\sqrt{x^2 + 1}} \]
  3. \( u(x) = \frac{x}{x-2} \implies \frac{du}{dx} = -\frac{2}{(x-2)^2} \)
    \[ \frac{d}{dx} h(x) = e^{u(x)} \frac{du}{dx} = -\frac{2}{(x-2)^2} \, e^{\frac{x}{x-2}} \]

Plus de références et de liens